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高校数学を最短で復習するメソッド1

sinθの微分は\frac{d}{dx}sin \theta \ = \ cos \thetaとなり、結果はよく知られている。sinθの微分を定義から導き、用いる定義の証明を随時行っていきながら、高校数学について最短で復習することを試みよう。

まず微分の定義をおさらい
  \displaystyle \frac{d}{dx} f(x) \ = \ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}

sinθの微分を定義により導く
  1. \ \displaystyle \frac{d}{dx} sin \theta \ = \ \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{sin(\theta  + \Delta \theta)-sin \theta}{\Delta \theta} \\  2. \ \displaystyle \frac{d}{dx} sin \theta \ = \ \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{sin \theta cos \Delta \theta + sin \Delta \theta cos \theta -sin \theta}{\Delta \theta} \\  3. \ \displaystyle \frac{d}{dx} sin \theta \ = \ \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{sin \theta (cos \Delta \theta -1) + cos \theta sin \Delta \theta}{\Delta \theta} \\  4. \ \displaystyle \frac{d}{dx} sin \theta \ = \ sin \theta \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{(cos \theta -1)}{\Delta \theta} + cos \theta \displaystyle \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{sin \Delta \theta}{ \Delta \theta } \\  5. \ \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{(cos \theta -1)}{\Delta \theta} = 0 \\  6. \ \displaystyle \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{sin \Delta \theta}{ \Delta \theta }=1 \\  7. \ \displaystyle \frac{d}{dx} sin \theta \ = \ cos \theta
1では加法定理を用いて2を導く。5はcosθの極限から求まる。6は非常によく用いる結果である。関連する定理の証明は以下に示しておいた。sinθの微分を定義から導くだけで、加法定理や余弦定理、\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{sin \theta}{ \theta }=1の証明からはさみうちのテクニックまで確認できる。慣れると頭の中で5〜10分あれば思い起こせて、効率的に復習できるのではないか。



加法定理の証明
加法定理
図は半径1の四分の一円である
1. 2点の座標より線分PQの長さを求める
  |PQ|^2=(cos \beta - cos\alpha)^2 + (sin\alpha - sin \beta)^2 \\  2-2(cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta)
2. 余弦定理より線分PQの長さを求める(余弦定理の証明は後に示してある)
  |PQ|^2=2-2cos( \alpha - \beta)
3. 1、2より
  cos( \alpha - \beta)=cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta
4. 3より三角関数の基本性質から以下が導かれる
  cos( \alpha + \beta) = cos( \alpha - (- \beta)) \\  =cos \alpha cos(- \beta) + sin \alpha sin(- \beta) \\  =cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta


  sin( \alpha - \beta) = cos( \frac{ \pi }{2} - ( \alpha - \beta )) \\  = cos(( \frac{ \pi }{2} -  \alpha) + \beta ) \\  = cos( \frac{ \pi }{2} - \alpha) cos \beta - sin( \frac{ \pi }{2} -  \alpha) sin \beta \\  = sin  \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta


  sin( \alpha + \beta) = sin( \alpha - (- \beta)) \\  = sin  \alpha cos(- \beta) - cos \alpha sin(- \beta) \\  = sin  \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta



余弦定理の証明
余弦定理
  |PQ|^2=|PR|^2+|QR|^2 \\  =(|OP|sin \theta)^2 + (|OQ|- |OP|cos \theta)^2 \\  =|OP|^2sin^2 \theta + |OQ|^2 + |OP|^2 cos^2 \theta -2|OQ||OP|cos \theta \\  =|OP|^2 + |OQ|^2 - 2|OQ||OP|cos \theta \\



\displaystyle \lim_{ \theta \to 0} \frac{sin \theta}{ \theta }=1の証明
six:x
図は半径1の四分の一円である
1.線分PS<弧PR<線分QRに注目し、各長さを求める [latex] 1. \ |PS|=sin \theta \\ 2. \ \frown PR= \theta \\ 3. \ |QR|=tan \theta \\ 4. \ sin \theta < \theta < tan \theta \ \ (1,2,3)\\ 5. \ 1 < \frac{\theta}{sin \theta} < \frac{1}{cos \theta} \ \ (4)\\ 6. \ cos \theta < \frac{sin \theta}{\theta} < 1 \ \ (5)\\ 7. \ \displaystyle \lim_{ \theta \to 0} cos \theta=1 \\ 8. \ \displaystyle \lim_{ \theta \to 0} \frac{sin \theta}{ \theta }=1 \ \ (6,7) \\ [/latex]